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Capítulo 3 · Item 3.12

Exercícios Resolvidos e Aplicações Práticas

Resumo, consolidação e aplicações práticas dos principais resultados do capítulo.

Sistema de Dois Níveis

Considere um sistema de \(N=2\) partículas distinguíveis em uma rede, cada uma com dois níveis de energia possíveis: \(0\) e \(\varepsilon\).

Função de Partição Total: \[ Z(N) = [Z(1)]^N = (1 + e^{-\beta\varepsilon})^2 \] Energia Interna Média: \[ U = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} = \frac{2\varepsilon e^{-\beta\varepsilon}}{1 + e^{-\beta\varepsilon}} \]

Análise Física: Note que para \(T \to 0\) (\(\beta \to \infty\)), a energia \(U \to 0\). Para \(T \to \infty\), \(U \to \varepsilon\), indicando que as partículas se distribuem igualmente entre os níveis.

Conexão: \(S = k_B(\beta U + \ln Z) \xrightarrow{T \to 0} 0\) (3ª Lei)
Equipartição e Gases Ideais

Determine a capacidade calorífica a pressão constante \(C_P\) para um gás ideal monoatômico a partir da energia livre.

Relação de Entalpia: \[ H = U + PV = \frac{3}{2}Nk_BT + Nk_BT = \frac{5}{2}Nk_BT \] Resultado Molar: \[ c_P^{\rm molar} = \frac{1}{n}\frac{\partial H}{\partial T} = \frac{5}{2}R \]
O teorema da equipartição atribui \(\frac{1}{2}k_BT\) para cada grau de liberdade quadrático. Gases monoatômicos possuem 3 graus de liberdade translacionais.
Dica Estratégica para Provas
Sempre identifique se as partículas são distinguíveis (em rede) ou indistinguíveis (em gás) antes de montar \(Z\). O fator \(1/N!\) é crucial para a extensividade da entropia e para evitar o Paradoxo de Gibbs. Lembre-se: \(F = -k_B T \ln Z\) é o seu portal para todas as variáveis macroscópicas.