Capítulo 3 · Item 3.8

Exemplo II: Paramagnetismo Quântico

Modelo de spin, magnetização estatística e função de Brillouin.

Modelagem do Sistema

Consideramos $N$ átomos com spin $s$ fixos em uma rede cristalina unidimensional. A localização fixa torna as partículas distinguíveis por sua posição, simplificando a estatística de contagem.

Interação com campo magnético externo $B_z$.
Níveis de energia discretos (quantização do spin).
Projeção magnética: $m = -s, -s+1, \dots, +s$.

Representação de spins em campo magnético

Provocação Teórica

Por que o modelo clássico falha ao tratar a orientação do spin como um vetor contínuo em baixas temperaturas? Como a discretização dos níveis de energia resolve o paradoxo da entropia residual?

Função de Partição e Níveis de Energia

A energia de interação de um momento magnético $\vec{\mu}$ com o campo $\vec{B} = B_z \hat{k}$ é dada por $E = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}$. Com a quantização, temos $2s+1$ níveis igualmente espaçados:

\[ E_m = g \mu_B B_z m \quad \text{onde} \quad m \in \{-s, \dots, +s\} \]

A função de partição para uma única partícula ($Z_1$) é a soma sobre todos os estados de spin acessíveis, resultando em uma série geométrica finita:

\[ Z_1(x) = \sum_{m=-s}^{s} e^{-\beta g \mu_B B_z m} = \frac{\sinh(ax)}{\sinh(bx)} \]

Onde definimos as variáveis adimensionais: $x = \frac{g \mu_B s B_z}{k_B T}$, $a = 1 + \frac{1}{2s}$ e $b = \frac{1}{2s}$. Note que $x$ representa a razão entre energia magnética e térmica.

Conceito

Dica de Exercício

Para calcular a Função de Partição total $Z_N$, lembre-se que para partículas distinguíveis em rede:

\[ Z_N = [Z_1(x)]^N \implies \ln Z_N = N \ln \left[ \frac{\sinh(ax)}{\sinh(bx)} \right] \]

Use esta expressão para derivar a Energia Livre de Helmholtz $F = -k_B T \ln Z_N$ e, posteriormente, a magnetização $M = -\left(\frac{\partial F}{\partial B}\right)_T$.

Derivação da Magnetização

A magnetização $M$ representa a resposta macroscópica do sistema ao campo externo $B_z$. Estatisticamente, ela é definida como o valor médio dos momentos magnéticos, obtido pela derivada da Energia Livre de Helmholtz:

\[ M = -\left( \frac{\partial F}{\partial B_z} \right)_T = N k_B T \frac{\partial \ln Z_1}{\partial B_z} \]

Substituindo a função de partição de uma partícula $Z_1(x) = \frac{\sinh(ax)}{\sinh(bx)}$, onde $a = (2s+1)/2s$ e $b = 1/2s$, chegamos à equação de estado:

\[ M = N g s \mu_B B_s(x), \quad x = \frac{g s \mu_B B_z}{k_B T} \]

A Função de Brillouin $B_s(x)$

A função $B_s(x)$ descreve como o alinhamento dos spins evolui com a temperatura e o campo. Ela é dada por:

\[ B_s(x) = \frac{2s+1}{2s} \coth \left( \frac{2s+1}{2s} x \right) - \frac{1}{2s} \coth \left( \frac{1}{2s} x \right) \]

Limites Físicos: Saturação ($x \to \infty$): $B_s(x) \to 1$. Todos os spins alinhados ao campo: $M_{sat} = Ngs\mu_B$. Lei de Curie ($x \to 0$): Para altas temperaturas, a magnetização é linear com o campo: $M \approx \frac{C B_z}{T}$.

Interpretação Física

O gráfico mostra a magnetização normalizada $m = M/M_{sat}$ em função de $1/x$ (proporcional a $T$). Observe que para spins maiores ($s$), o sistema atinge a saturação mais rapidamente. A curva tracejada (Langevin) representa o limite clássico ($s \to \infty$).

Magnetização normalizada em função de $x$: as curvas de Brillouin para spins finitos aproximam-se do limite clássico de Langevin (tracejado) quando $s \to \infty$.