Capítulo 3 · Item 3.9

Exemplo III: Paramagnetismo Clássico

Limite clássico dos momentos magnéticos e interpretação via função de Langevin.

O Modelo Contínuo

No limite clássico, tratamos os momentos magnéticos $\vec{\mu}$ como vetores contínuos de módulo fixo $\mu$, capazes de assumir qualquer orientação $\theta$ em relação ao campo $B_z$. A energia de interação é dada por:

\[ E(\theta) = -\mu B_z \cos \theta \]

Para calcular a função de partição de uma partícula ($Z_1$), devemos integrar o fator de Boltzmann sobre todo o ângulo sólido $d\Omega = \sin\theta d\theta d\phi$:

\[ Z_1 = \int e^{-\beta E(\theta)} d\Omega = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi e^{\beta \mu B_z \cos \theta} \sin \theta d\theta \]

Definindo a variável adimensional $x = \mu B_z / k_B T$, a integração resulta na expressão analítica:

\[ Z_1 = 4\pi \frac{\sinh x}{x} \]

Magnetização e a Função $L(x)$

A magnetização macroscópica $M$ é obtida via derivada da energia livre de Helmholtz ($F = -N k_B T \ln Z_1$) em relação ao campo $B_z$:

\[ M = N\mu \left( \coth x - \frac{1}{x} \right) = N\mu L(x) \]

Magnetização normalizada em função de $x$ (proporcional a $B_z$). A Função de Langevin (tracejada) representa o limite $s \to \infty$ da Função de Brillouin.